ベクトルに関する問題で、以下の小問があります。 (1) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられたとき、$\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。 (2) $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{a}+\vec{b}|$ が与えられたとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $2\vec{a} - \vec{b}$ の大きさを求める。 (3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が直交するとき、$x$ の値を求める。 (4) $\triangle OAB$ において、$\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。 (5) $\vec{OP} = 3\vec{OA} - 2k\vec{OB}$ で表される点 $P$ が直線 $AB$ 上にあるとき、実数 $k$ の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

ベクトルに関する問題で、以下の小問があります。

(1) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられたとき、$\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。

(2) $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{a}+\vec{b}|$ が与えられたとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $2\vec{a} - \vec{b}$ の大きさを求める。

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が直交するとき、$x$ の値を求める。

(4) $\triangle OAB$ において、$\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

(5) $\vec{OP} = 3\vec{OA} - 2k\vec{OB}$ で表される点 $P$ が直線 $AB$ 上にあるとき、実数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおくと

$(-1, 9) = s(3, -3) + t(-4, 6)$

$-1 = 3s - 4t$

$9 = -3s + 6t$

$3s = 4t - 1$

$3s = 6t - 9$

$4t - 1 = 6t - 9$

$2t = 8$

$t = 4$

$3s = 16 - 1 = 15$

$s = 5$

よって $\vec{c} = 5\vec{a} + 4\vec{b}$

(2)

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$5^2 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2$

$25 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$

$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4(3^2) - 4(6) + 2^2 = 36 - 24 + 4 = 16$

$|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{16} = 4$

(3)

$\vec{a} \perp \vec{b}$ より $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$(-x, 4) \cdot (x-4, 1) = 0$

$-x(x-4) + 4(1) = 0$

$-x^2 + 4x + 4 = 0$

$x^2 - 4x - 4 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$

(4)

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。

$\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点が $P$ であるから、角の二等分線の性質より $AP:PB = OA:OB = 3:2$

$\vec{OP} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

よって $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

(5)

$\vec{OP} = 3\vec{OA} - 2k\vec{OB}$

点 $P$ が直線 $AB$ 上にあるので、$\vec{OP} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$ と表せる。

$s = 3$ および $1-s = -2k$

$1-3 = -2k$

$-2 = -2k$

$k = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 5\vec{a} + 4\vec{b}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$, $|2\vec{a} - \vec{b}| = 4$

(3) $x = 2 \pm 2\sqrt{2}$

(4) $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

(5) $k = 1$