90をある自然数で割り切ったとき、商が自然数の平方数になるような、できるだけ小さい自然数を求めよ。

1. 問題の内容

90をある自然数で割り切ったとき、商が自然数の平方数になるような、できるだけ小さい自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、90を素因数分解します。

$90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$をある数$x$で割ったとき、商が自然数の平方数になる必要があります。つまり、$\frac{90}{x}$が平方数になる必要があります。

$\frac{90}{x} = \frac{2 \times 3^2 \times 5}{x}$

この商が平方数になるためには、$x$は$2 \times 5 = 10$を少なくとも含んでいる必要があります。

もし$x=10$とすると、$\frac{90}{10} = 9 = 3^2$となり、これは平方数です。

したがって、$x=10$が求める自然数です。

3. 最終的な答え

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