与えられた式を計算せよという問題です。 $ \frac{x-1}{x^2+3x+2} - \frac{x-3}{x^2+4x+3} $

1. 問題の内容

与えられた式を計算せよという問題です。

$\frac{x-1}{x^2+3x+2} - \frac{x-3}{x^2+4x+3}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{x-1}{(x+1)(x+2)} - \frac{x-3}{(x+1)(x+3)}$

次に、通分を行います。共通の分母は $(x+1)(x+2)(x+3)$ です。

$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} - \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

分子をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$

したがって、

$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(x+3)} - \frac{x^2-x-6}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

分子を計算します。

$(x^2+2x-3) - (x^2-x-6) = x^2 + 2x - 3 - x^2 + x + 6 = 3x + 3$

したがって、

$\frac{3x+3}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

分子を因数分解します。

$3x+3 = 3(x+1)$

したがって、

$\frac{3(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

$x+1$で約分します。

$\frac{3}{(x+2)(x+3)}$

展開して、

$\frac{3}{x^2 + 5x + 6}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{(x+2)(x+3)}$

もしくは、$\frac{3}{x^2 + 5x + 6}$