$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 4xy + y^2$ の値を求め、その結果を分数で表し、分子と分母をそれぞれ答えよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 4xy + y^2$ の値を求め、その結果を分数で表し、分子と分母をそれぞれ答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4xy + y^2$ を変形します。

$x^2 - 4xy + y^2 = (x-y)^2 - 2xy$ と変形できます。

次に、$x-y$ と $xy$ を計算します。

$x-y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$xy = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{5-2}{4} = \frac{3}{4}$

よって、

$(x-y)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$2xy = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$

したがって、

$x^2 - 4xy + y^2 = (x-y)^2 - 2xy = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：2