項数 $m$ の2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があります。 $\{a_n\} = 1, 2, 3, 4, \dots, m-2, m-1, m$ $\{b_n\} = m, m-1, m-2, \dots, 4, 3, 2, 1$ 数列 $\{c_n\}$ の一般項を $c_n = a_n b_n$ とするとき、$c_n$ の最大値と $\sum_{k=1}^{m} c_k$ をそれぞれ $m$ の式で表します。

1. 問題の内容

項数 $m$ の2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があります。

$\{a_n\} = 1, 2, 3, 4, \dots, m-2, m-1, m$

$\{b_n\} = m, m-1, m-2, \dots, 4, 3, 2, 1$

数列 $\{c_n\}$ の一般項を $c_n = a_n b_n$ とするとき、$c_n$ の最大値と $\sum_{k=1}^{m} c_k$ をそれぞれ $m$ の式で表します。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ と $b_n$ の一般項を求めます。

$a_n = n$

$b_n = m - (n - 1) = m - n + 1$

したがって、$c_n$ は次のようになります。

$c_n = a_n b_n = n(m - n + 1)$

$c_n$ の最大値を求めるために、$c_n$ を $n$ の関数と見て最大値を求めます。

$c_n = mn - n^2 + n = -n^2 + (m+1)n$

平方完成すると

$c_n = -(n^2 - (m+1)n)$

$c_n = -((n - \frac{m+1}{2})^2 - (\frac{m+1}{2})^2)$

$c_n = - (n - \frac{m+1}{2})^2 + (\frac{m+1}{2})^2$

$n$ は整数なので、$c_n$ が最大になるのは $n$ が $\frac{m+1}{2}$ に最も近い整数の時です。

$m$ が奇数のとき、$n = \frac{m+1}{2}$ となり、最大値は $(\frac{m+1}{2})^2$ となります。

$m$ が偶数のとき、$n = \frac{m}{2}$ または $n = \frac{m}{2} + 1$ となり、最大値は $(\frac{m}{2}+1)(m - \frac{m}{2}) = (\frac{m}{2}+1)(\frac{m}{2}) = \frac{m^2}{4} + \frac{m}{2} = \frac{m(m+2)}{4} = \frac{(m+1)^2 - 1}{4}$ となります。

したがって、どちらの場合でも、最大値は $(\frac{m+1}{2})^2$ に最も近い整数です。$m$が十分大きい時、最大値は概ね$(\frac{m+1}{2})^2$である。

次に、$\sum_{k=1}^{m} c_k$ を求めます。

$\sum_{k=1}^{m} c_k = \sum_{k=1}^{m} k(m - k + 1) = \sum_{k=1}^{m} (mk - k^2 + k) = \sum_{k=1}^{m} ((m+1)k - k^2)$

$= (m+1)\sum_{k=1}^{m} k - \sum_{k=1}^{m} k^2 = (m+1)\frac{m(m+1)}{2} - \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$

$= \frac{m(m+1)}{6}[3(m+1) - (2m+1)] = \frac{m(m+1)}{6}(3m+3 - 2m - 1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{6}$

3. 最終的な答え

$c_n$ の最大値: $\lfloor (\frac{m+1}{2})^2 \rfloor$ ($\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数)

$\sum_{k=1}^{m} c_k = \frac{m(m+1)(m+2)}{6}$