$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ の計算

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - \frac{9}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = - \frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の計算

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いる。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)((\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, $\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$ を代入する。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(1 - (- \frac{4}{9}))$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(1 + \frac{4}{9})$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(\frac{9}{9} + \frac{4}{9})$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(\frac{13}{9})$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$