次の方程式を解く。 (1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$ (2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ (3) $x^3 - x + 6 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解く。

(1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

(2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

(3) $x^3 - x + 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

$x^2 = t$ とおく。

$t^2 - 7t + 12 = 0$

$(t-3)(t-4) = 0$

$t = 3, 4$

$x^2 = 3, 4$

$x = \pm \sqrt{3}, \pm 2$

(2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$とおくと、$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$だから、$x-1$を因数に持つ。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$

$x = 1, 2, 3$

(3) $x^3 - x + 6 = 0$

$P(x) = x^3 - x + 6$とおくと、$P(-2) = -8 + 2 + 6 = 0$だから、$x+2$を因数に持つ。

$x^3 - x + 6 = (x+2)(x^2 - 2x + 3) = 0$

$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 3 = 0$

$x = -2$

$x^2 - 2x + 3 = 0$を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \sqrt{3}, \pm 2$

(2) $x = 1, 2, 3$

(3) $x = -2, 1 \pm i\sqrt{2}$