$\sqrt{20a}$ が自然数になるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{20a}$ が自然数になるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

まず、20を素因数分解します。

$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

したがって、$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times a}$ となります。

$\sqrt{20a}$ が自然数になるためには、根号の中が何かの自然数の2乗になる必要があります。

$2^2$ はすでに2乗の形になっているので、残りの $5 \times a$ が2乗の形になればよいです。

$5 \times a$ を2乗の形にするためには、$a$ は少なくとも5を約数に持つ必要があります。

$a$ が最も小さい自然数であるためには、$a = 5$ とすれば、$5 \times a = 5 \times 5 = 5^2$ となり、2乗の形になります。

よって、$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 2 \times 5 = 10$ となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

$a=5$