次の式を展開する問題です。 (1) $(x+1)^3$ (2) $(x-2)^3$ (3) $(3a+b)^3$ (4) $(2x-3y)^3$

1. 問題の内容

次の式を展開する問題です。

(1) $(x+1)^3$

(2) $(x-2)^3$

(3) $(3a+b)^3$

(4) $(2x-3y)^3$

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)^3$ の展開

二項定理 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用いる。

$a=x, b=1$ を代入する。

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

(2) $(x-2)^3$ の展開

二項定理 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いる。

$a=x, b=2$ を代入する。

$(x-2)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - (2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

(3) $(3a+b)^3$ の展開

二項定理 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用いる。

$a=3a, b=b$ を代入する。

$(3a+b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$

(4) $(2x-3y)^3$ の展開

二項定理 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いる。

$a=2x, b=3y$ を代入する。

$(2x-3y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3 = 8x^3 - 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) - 27y^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

(2) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

(3) $27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$

(4) $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$