問題は以下の通りです。 問1. 次の計算をせよ。 (1) $(1+\sqrt{3}i)^3$ (2) $(3-\sqrt{3}i)^4$ (3) $(-3-3i)^4$ (4) $(-1+i)^{10}$ 問2. ド・モアブルの定理を用いて、次の等式を証明せよ。 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ 問3. $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \ne 0$ とする。次の等式を証明せよ。ただし、$n$は正の整数である。 (1) $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\} = \frac{1}{r}(\cos \theta - i \sin \theta)$ (2) $z^{-n} = \frac{1}{r^n}(\cos n\theta - i \sin n\theta)$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

問

1. 次の計算をせよ。

(1) $(1+\sqrt{3}i)^3$

(2) $(3-\sqrt{3}i)^4$

(3) $(-3-3i)^4$

(4) $(-1+i)^{10}$

問

2. ド・モアブルの定理を用いて、次の等式を証明せよ。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

問

3. $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \ne 0$ とする。次の等式を証明せよ。ただし、$n$は正の整数である。

(1) $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\} = \frac{1}{r}(\cos \theta - i \sin \theta)$

(2) $z^{-n} = \frac{1}{r^n}(\cos n\theta - i \sin n\theta)$

2. 解き方の手順

問

1. (1) $(1+\sqrt{3}i)^3 = 1^3 + 3\cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}i + 3\cdot 1 \cdot (\sqrt{3}i)^2 + (\sqrt{3}i)^3 = 1 + 3\sqrt{3}i - 9 - 3\sqrt{3}i = -8$

(2) $(3-\sqrt{3}i)^4 = (3-\sqrt{3}i)^2 (3-\sqrt{3}i)^2 = (9 - 6\sqrt{3}i - 3)(9 - 6\sqrt{3}i - 3) = (6-6\sqrt{3}i)^2 = 36 - 72\sqrt{3}i - 108 = -72 - 72\sqrt{3}i$

(3) $(-3-3i)^4 = (-3)^4 (1+i)^4 = 81((1+i)^2)^2 = 81(1+2i-1)^2 = 81(2i)^2 = 81(-4) = -324$

(4) $(-1+i)^{10} = ((-1+i)^2)^5 = (1 - 2i - 1)^5 = (-2i)^5 = -32i^5 = -32i$

問

2. ド・モアブルの定理より、

$\cos 2\theta + i \sin 2\theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + 2i \sin \theta \cos \theta - \sin^2 \theta = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + i(2\sin \theta \cos \theta)$

実部と虚部を比較して、$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

問

3. (1) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$より、$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos \theta + i \sin \theta)} = \frac{1}{r}\frac{\cos \theta - i \sin \theta}{(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta - i \sin \theta)} = \frac{1}{r}\frac{\cos \theta - i \sin \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{1}{r}(\cos \theta - i \sin \theta) = \frac{1}{r}(\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))$

(2) ド・モアブルの定理より、$(\cos \theta + i \sin \theta)^{-n} = \cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta) = \cos (n\theta) - i \sin (n\theta)$

よって、$z^{-n} = (r(\cos \theta + i \sin \theta))^{-n} = r^{-n}(\cos \theta + i \sin \theta)^{-n} = \frac{1}{r^n}(\cos n\theta - i \sin n\theta)$

3. 最終的な答え

問

1. (1) $-8$

(2) $-72 - 72\sqrt{3}i$

(3) $-324$

(4) $-32i$

問

2. $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$　（証明は上記参照）

問

3. (1) $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos \theta - i \sin \theta)$　（証明は上記参照）

(2) $z^{-n} = \frac{1}{r^n}(\cos n\theta - i \sin n\theta)$　（証明は上記参照）