行列 $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$ について、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対し、$AX = E$ を満たすように $X$ を求め、さらに $XA = E$ となることを確認する。ここで、$E$は単位行列を表す。

1. 問題の内容

行列 $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$ について、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対し、$AX = E$ を満たすように $X$ を求め、さらに $XA = E$ となることを確認する。ここで、$E$は単位行列を表す。

2. 解き方の手順

まず、$AX = E$ となるような $X$ を求める。ここで、$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

$AX = E$ は、

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

と書ける。

行列の積を計算すると、以下の連立方程式が得られる。

$x_{11} - x_{21} + 2x_{31} = 1$

$x_{12} - x_{22} + 2x_{32} = 0$

$x_{13} - x_{23} + 2x_{33} = 0$

$x_{21} + x_{31} = 0$

$x_{22} + x_{32} = 1$

$x_{23} + x_{33} = 0$

$x_{31} = 0$

$x_{32} = 0$

$x_{33} = 1$

これらの連立方程式を解く。

$x_{31} = 0$ より $x_{21} = 0$。よって、$x_{11} = 1$.

$x_{32} = 0$ より $x_{22} = 1$。よって、$x_{12} = 1$.

$x_{33} = 1$ より $x_{23} = -1$。よって、$x_{13} = -3$.

したがって、$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

次に、$XA$ を計算し、$E$ に等しいことを確認する。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$XA = E$