行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ が与えられている。 (i) $AB$, $BA$, $A^2$, $B^2$, $ABA$, $BAB$ を計算せよ。 (ii) $A$ と $B$ を任意の順序で、任意回数かけて得られる行列を全て求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ が与えられている。

(i) $AB$, $BA$, $A^2$, $B^2$, $ABA$, $BAB$ を計算せよ。

(ii) $A$ と $B$ を任意の順序で、任意回数かけて得られる行列を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(i)

行列の積を計算する。

$AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$ （単位行列）

$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$

$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = B$

$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = A$

$ABA = A(BA) = AE = A$

$BAB = B(AB) = BE = B$

(ii)

$A$ と $B$ は互いに逆行列である $(AB=BA=E)$。$A^2 = B$, $B^2 = A$ である。したがって、$A$ と $B$ を任意にかけ合わせると、$A$, $B$, $E$ のいずれかになる。

$A^3 = A A^2 = AB = E$, $B^3 = B B^2 = BA = E$

$A$ と $B$ の積は $E$ になるので、$A$ と $B$ を交互にかけると、$E, A, B$ のどれかになる。

3. 最終的な答え

(i) $AB = E$, $BA = E$, $A^2 = B$, $B^2 = A$, $ABA = A$, $BAB = B$

(ii) $E$, $A$, $B$