$m, n$を正の実数とする。座標平面上において、曲線$y = |x^2 - x|$を$C$とし、直線$y = mx + n$を$\ell$とする。$0 < x < 1$の範囲で、直線$\ell$は曲線$C$と点$P$で接しているとする。 (1) 直線$\ell$の傾き$m$を$n$を用いて表せ。 (2) 点$P$の$x$座標を$n$を用いて表せ。 (3) $x < 0$の範囲における直線$\ell$と曲線$C$の交点を$Q$とし、$x > 1$の範囲における直線$\ell$と曲線$C$の交点を$R$とする。$QP : PR = 1 : 3$であるとき、$m$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$を正の実数とする。座標平面上において、曲線$y = |x^2 - x|$を$C$とし、直線$y = mx + n$を$\ell$とする。$0 < x < 1$の範囲で、直線$\ell$は曲線$C$と点$P$で接しているとする。

(1) 直線$\ell$の傾き$m$を$n$を用いて表せ。

(2) 点$P$の$x$座標を$n$を用いて表せ。

(3) $x < 0$の範囲における直線$\ell$と曲線$C$の交点を$Q$とし、$x > 1$の範囲における直線$\ell$と曲線$C$の交点を$R$とする。$QP : PR = 1 : 3$であるとき、$m$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$0 < x < 1$のとき、$x^2 - x < 0$なので、$y = |x^2 - x| = -x^2 + x$となる。

$y = -x^2 + x$と$y = mx + n$が接するので、$-x^2 + x = mx + n$より、

$x^2 + (m - 1)x + n = 0$

この2次方程式が重解を持つので、判別式$D = 0$となる。

$D = (m - 1)^2 - 4n = 0$

$(m - 1)^2 = 4n$

$m - 1 = \pm 2\sqrt{n}$

$m = 1 \pm 2\sqrt{n}$

$m, n$は正の実数であり、$0 < x < 1$で接するので、$m > 0$なので、$m = 1 + 2\sqrt{n}$

(2)

接点の$x$座標を$p$とすると、$x^2 + (m - 1)x + n = 0$の重解は$x = p$なので、

$x = \frac{-(m - 1)}{2} = p$

$p = \frac{1 - m}{2} = \frac{1 - (1 + 2\sqrt{n})}{2} = \frac{-2\sqrt{n}}{2} = -\sqrt{n}$

ただし、$0 < x < 1$の範囲で接するので、$0 < -\sqrt{n} < 1$を満たす必要がある。これはありえないため、$m=1-2\sqrt{n}$となる。

$D = (m-1)^2 - 4n = 0$

$(m-1)^2 = 4n$

$m-1 = \pm 2\sqrt{n}$

$m = 1 \pm 2\sqrt{n}$

$0<x<1$で接するので、$m>0$。

$m = 1-2\sqrt{n}$のとき、$1-2\sqrt{n}>0$より、$2\sqrt{n}<1$なので、$0<n<1/4$。

$p = \frac{1-m}{2} = \frac{1-(1-2\sqrt{n})}{2} = \frac{2\sqrt{n}}{2} = \sqrt{n}$

$0 < p < 1$より、$0 < \sqrt{n} < 1$なので、$0 < n < 1$。

$m = 1 + 2\sqrt{n}$のとき、$x^2 + (1 + 2\sqrt{n} - 1)x + n = 0$

$x^2 + 2\sqrt{n}x + n = 0$

$(x + \sqrt{n})^2 = 0$

$x = -\sqrt{n}$

これは$0 < x < 1$を満たさない。

$m = 1 - 2\sqrt{n}$のとき、$x^2 + (1 - 2\sqrt{n} - 1)x + n = 0$

$x^2 - 2\sqrt{n}x + n = 0$

$(x - \sqrt{n})^2 = 0$

$x = \sqrt{n}$

したがって、点$P$の$x$座標は$\sqrt{n}$

(3)

$x < 0$のとき、$y = x^2 - x$

$x^2 - x = (1 - 2\sqrt{n})x + n$

$x^2 - 2\sqrt{n}x - n = 0$

$x = \frac{2\sqrt{n} \pm \sqrt{4n + 4n}}{2} = \sqrt{n} \pm \sqrt{2n}$

$x < 0$より、$Q = \sqrt{n} - \sqrt{2n}$

$x > 1$のとき、$y = x^2 - x$

$x^2 - x = (1 - 2\sqrt{n})x + n$

$x^2 - 2\sqrt{n}x - n = 0$

$x = \sqrt{n} \pm \sqrt{2n}$

$x > 1$より、$R = \sqrt{n} + \sqrt{2n}$

$P = \sqrt{n}$

$Q = \sqrt{n} - \sqrt{2n}$

$R = \sqrt{n} + \sqrt{2n}$

$QP = \sqrt{(\sqrt{n} - (\sqrt{n} - \sqrt{2n}))^2} = \sqrt{2n}$

$PR = \sqrt{(\sqrt{n} + \sqrt{2n} - \sqrt{n})^2} = \sqrt{2n}$

$QP : PR = \sqrt{2n} : \sqrt{2n} = 1 : 1$

$QP : PR = 1 : 3$より、$PR = 3QP$

$(\sqrt{n} + \sqrt{2n} - \sqrt{n}) = 3 (\sqrt{n} - (\sqrt{n} - \sqrt{2n}))$

$\sqrt{2n} = 3\sqrt{2n}$

これは成り立たない。計算ミス。

$P = \sqrt{n}$

$Q = \sqrt{n} - \sqrt{2n}$

$R = \sqrt{n} + \sqrt{2n}$

$QP = |\sqrt{n} - (\sqrt{n} - \sqrt{2n})| = \sqrt{2n}$

$PR = |\sqrt{n} + \sqrt{2n} - \sqrt{n}| = \sqrt{2n}$

これは$QP : PR = 1 : 3$を満たさないため、直線lの式が間違っている。

$y=x^2-x (x<0, x>1)$

$y=-x^2+x (0<x<1)$

(1)

$-x^2+x = mx+n$

$x^2 + (m-1)x+n=0$

$D = (m-1)^2 - 4n = 0$

$m = 1 \pm 2\sqrt{n}$

$p = \frac{-(m-1)}{2}$

(2)

$m = 1-2\sqrt{n}$

$p = \sqrt{n}$

(3)

$x^2-x = (1-2\sqrt{n})x+n$

$x^2 - 2\sqrt{n}x - n = 0$

$x = \sqrt{n} \pm \sqrt{2n}$

$Q = \sqrt{n}-\sqrt{2n}$

$R = \sqrt{n}+\sqrt{2n}$

$QP = \sqrt{(\sqrt{n}-(\sqrt{n}-\sqrt{2n}))^2} = \sqrt{2n}$

$PR = \sqrt{(\sqrt{n}+(\sqrt{n}+\sqrt{2n}))^2} = \sqrt{2n}$

問題文の条件を満たさない。

$QP : PR = | (\sqrt{n}) - (\sqrt{n} - \sqrt{2n}) | : | (\sqrt{n} + \sqrt{2n}) - (\sqrt{n}) | = |\sqrt{2n}| : |\sqrt{2n}| = 1 : 1$

問題文の条件が正しくない？

3. 最終的な答え

問題文の設定から条件を満たす$m$の値は存在しない。