与えられた10個の多項式を因数分解する。

はい、承知いたしました。画像に示された10個の数式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた10個の多項式を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x + 3$

これは基本的な二次式なので、足して4、掛けて3になる2つの数を見つけます。それは1と3です。

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

(2) $3x^2 + 5x - 2$

これは少し複雑な二次式です。たすき掛けを使うか、二次方程式の解の公式を使って解を見つけ、そこから因数分解します。ここではたすき掛けを使用します。

$3x^2 + 5x - 2 = (3x-1)(x+2)$

(3) $8x^3 + 27$

これは立方和の形をしています。 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という公式を使います。

$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2) = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $(x+1)^2 - (x+1) - 2$

$y = x+1$ と置くと、$y^2 - y - 2$ となります。

$y^2 - y - 2 = (y-2)(y+1)$

元の変数に戻すと、

$(x+1-2)(x+1+1) = (x-1)(x+2)$

(5) $9a^2 - b^2 - 4bc - 4c^2$

$9a^2 - (b^2 + 4bc + 4c^2) = 9a^2 - (b+2c)^2$

これは差の二乗の形をしています。 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$(3a)^2 - (b+2c)^2 = (3a + b + 2c)(3a - b - 2c)$

(6) $(x^2 - 2x - 16)(x^2 - 2x - 14) + 1$

$y = x^2 - 2x$ と置くと、 $(y-16)(y-14) + 1 = y^2 - 30y + 224 + 1 = y^2 - 30y + 225 = (y-15)^2$

元の変数に戻すと、 $(x^2 - 2x - 15)^2 = ((x-5)(x+3))^2 = (x-5)^2(x+3)^2$

(7) $2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$

$a(2b^2 - 3b - 2) + (b-2) = a(2b+1)(b-2) + (b-2) = (b-2)(a(2b+1) + 1) = (b-2)(2ab+a+1)$

(8) $x^2(y-1) + y^2(1-x) + x - y$

$x^2y - x^2 + y^2 - xy^2 + x - y = x^2y - xy^2 - x^2 + y^2 + x - y = xy(x-y) - (x^2 - y^2) + (x-y) = xy(x-y) - (x-y)(x+y) + (x-y) = (x-y)(xy - x - y + 1) = (x-y)(x(y-1) - (y-1)) = (x-y)(x-1)(y-1)$

(9) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - c^2b = a^2b - ab^2 - a^2c + c^2a + b^2c - c^2b = ab(a-b) - ac(a-c) + bc(b-c) = ab(a-b) - ac(a-b+b-c) + bc(b-c) = ab(a-b) - ac(a-b) - ac(b-c) + bc(b-c) = (a-b)(ab-ac) + (b-c)(bc-ac) = a(a-b)(b-c) - c(b-c)(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

(10) $x^2 + xy + 2x + y + 1$

$x^2 + xy + 2x + y + 1 = x^2 + 2x + 1 + xy + y = (x+1)^2 + y(x+1) = (x+1)(x+1+y) = (x+1)(x+y+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)(x+3)$

(2) $(3x-1)(x+2)$

(3) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $(x-1)(x+2)$

(5) $(3a + b + 2c)(3a - b - 2c)$

(6) $(x-5)^2(x+3)^2$

(7) $(b-2)(2ab+a+1)$

(8) $(x-y)(x-1)(y-1)$

(9) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(10) $(x+1)(x+y+1)$