$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y = |x^2 - x|$ を $C$ とし、直線 $y = mx + n$ を $l$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $l$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。 (1) 直線 $l$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。 (3) $x < 0$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP : PR = 1 : 3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y = |x^2 - x|$ を $C$ とし、直線 $y = mx + n$ を $l$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $l$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。

(1) 直線 $l$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。

(3) $x < 0$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP : PR = 1 : 3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $0 < x < 1$ のとき、$y = |x^2 - x| = -x^2 + x$ である。

$y' = -2x + 1$

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とすると、$0 < p < 1$ であり、$y'(p) = -2p + 1 = m$ である。

点 $P$ の $y$ 座標は、$-p^2 + p$ である。点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、

$-p^2 + p = mp + n$

$-p^2 + p = (-2p + 1)p + n$

$-p^2 + p = -2p^2 + p + n$

$p^2 = n$

$p = \sqrt{n}$

$m = -2p + 1 = -2\sqrt{n} + 1$

(2) 点 $P$ の $x$ 座標は $\sqrt{n}$ である。

(3) $x < 0$ のとき、$y = |x^2 - x| = x^2 - x$ である。

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m+1)x - n = 0$

解を $x_Q$ とすると、$x_Q = \frac{m+1 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$x > 1$ のとき、$y = |x^2 - x| = x^2 - x$ である。

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m+1)x - n = 0$

解を $x_R$ とすると、$x_R = \frac{m+1 + \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$x_Q = \frac{-2\sqrt{n} + 2 - \sqrt{(-2\sqrt{n} + 2)^2 + 4n}}{2} = 1 - \sqrt{n} - \sqrt{4 - 4\sqrt{n} + 4n + 4n}/2 = 1 - \sqrt{n} - \sqrt{(2\sqrt{n} - 1)^2 + 3}/2$

$x_R = \frac{-2\sqrt{n} + 2 + \sqrt{(-2\sqrt{n} + 2)^2 + 4n}}{2} = 1 - \sqrt{n} + \sqrt{(2\sqrt{n} - 1)^2 + 3}/2$

$QP:PR = 1:3$ より、$3(x_P - x_Q) = x_R - x_P$

$4x_P = x_R + 3x_Q$

$4\sqrt{n} = \frac{m+1 + \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2} + 3\frac{m+1 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$8\sqrt{n} = 4(m+1) - 2\sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$4\sqrt{n} = 2m + 2 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$4\sqrt{n} - 2m - 2 = -\sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$(4\sqrt{n} - 2m - 2)^2 = (m+1)^2 + 4n$

$(4\sqrt{n} - 2(-2\sqrt{n} + 1) - 2)^2 = (-2\sqrt{n} + 1 + 1)^2 + 4n$

$(4\sqrt{n} + 4\sqrt{n} - 2 - 2)^2 = (-2\sqrt{n} + 2)^2 + 4n$

$(8\sqrt{n} - 4)^2 = 4n - 8\sqrt{n} + 4 + 4n$

$64n - 64\sqrt{n} + 16 = 8n - 8\sqrt{n} + 4$

$56n - 56\sqrt{n} + 12 = 0$

$14n - 14\sqrt{n} + 3 = 0$

$\sqrt{n} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4(14)(3)}}{28} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 168}}{28} = \frac{14 \pm \sqrt{28}}{28} = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{28} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{14}$

$n = (\frac{7 \pm \sqrt{7}}{14})^2 = \frac{49 \pm 14\sqrt{7} + 7}{196} = \frac{56 \pm 14\sqrt{7}}{196} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{14}$

ここで、$0 < \sqrt{n} < 1$ より、$0 < n < 1$

$m = -2\sqrt{n} + 1 > 0$ より、$\sqrt{n} < \frac{1}{2}$ より、$n < \frac{1}{4}$

$n = \frac{4 - \sqrt{7}}{14} \approx \frac{4 - 2.65}{14} \approx \frac{1.35}{14} < \frac{1}{4}$

$n = \frac{4 + \sqrt{7}}{14} \approx \frac{4 + 2.65}{14} \approx \frac{6.65}{14} > \frac{1}{4}$

よって、$n = \frac{4 - \sqrt{7}}{14}$

$m = -2\sqrt{\frac{4 - \sqrt{7}}{14}} + 1 = -2 \frac{\sqrt{56 - 14\sqrt{7}}}{14} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{56 - 14\sqrt{7}}}{7}$

しかし、与えられた条件では $m$ の値が一つに定まるはずなので、計算に誤りがある可能性がある。

$QP:PR = 1:3$ より、ベクトルで考えると $\vec{P} = \frac{3\vec{Q} + \vec{R}}{4}$

$4p = 3x_Q + x_R$

$4p = 3 \frac{m+1 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2} + \frac{m+1 + \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$8p = 4m+4 - 2\sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$4p = 2m + 2 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$4p - 2m - 2 = -\sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$(4p - 2m - 2)^2 = (m+1)^2 + 4n$

$m = 1 - 2p, n = p^2$ より、

$(4p - 2(1-2p) - 2)^2 = ((1-2p) + 1)^2 + 4p^2$

$(4p - 2 + 4p - 2)^2 = (2 - 2p)^2 + 4p^2$

$(8p - 4)^2 = 4(1-p)^2 + 4p^2$

$64p^2 - 64p + 16 = 4(1 - 2p + p^2) + 4p^2 = 4 - 8p + 4p^2 + 4p^2 = 8p^2 - 8p + 4$

$56p^2 - 56p + 12 = 0$

$14p^2 - 14p + 3 = 0$

$p = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4(14)(3)}}{28} = \frac{14 \pm \sqrt{28}}{28} = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{28} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{14}$

$p = \frac{7 - \sqrt{7}}{14}$

$m = 1 - 2p = 1 - 2 \frac{7 - \sqrt{7}}{14} = 1 - \frac{7 - \sqrt{7}}{7} = \frac{7 - 7 + \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $m = 1 - 2\sqrt{n}$

(2) $p = \sqrt{n}$

(3) $m = \frac{\sqrt{7}}{7}$