問題は $(2x+1)^7$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は $(2x+1)^7$ を展開することです。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して $(2x+1)^7$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

今回の問題では、$a = 2x$, $b = 1$, $n = 7$ です。展開すると、

$(2x+1)^7 = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} (2x)^{7-k} (1)^k$

$= \binom{7}{0} (2x)^7 (1)^0 + \binom{7}{1} (2x)^6 (1)^1 + \binom{7}{2} (2x)^5 (1)^2 + \binom{7}{3} (2x)^4 (1)^3 + \binom{7}{4} (2x)^3 (1)^4 + \binom{7}{5} (2x)^2 (1)^5 + \binom{7}{6} (2x)^1 (1)^6 + \binom{7}{7} (2x)^0 (1)^7$

各項を計算します。

$\binom{7}{0} = 1$

$\binom{7}{1} = 7$

$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$\binom{7}{4} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$

$\binom{7}{5} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 21$

$\binom{7}{6} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7$

$\binom{7}{7} = 1$

$(2x)^7 = 128x^7$

$(2x)^6 = 64x^6$

$(2x)^5 = 32x^5$

$(2x)^4 = 16x^4$

$(2x)^3 = 8x^3$

$(2x)^2 = 4x^2$

$(2x)^1 = 2x$

$(2x)^0 = 1$

したがって、

$(2x+1)^7 = 1 \times 128x^7 + 7 \times 64x^6 + 21 \times 32x^5 + 35 \times 16x^4 + 35 \times 8x^3 + 21 \times 4x^2 + 7 \times 2x + 1 \times 1$

$(2x+1)^7 = 128x^7 + 448x^6 + 672x^5 + 560x^4 + 280x^3 + 84x^2 + 14x + 1$

3. 最終的な答え

$128x^7 + 448x^6 + 672x^5 + 560x^4 + 280x^3 + 84x^2 + 14x + 1$