(9) 第3項が14、第9項が-34である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。 (10) 第2項が54、第5項が16である等比数列$\{b_n\}$の一般項を求めます。

1. 問題の内容

(9) 第3項が14、第9項が-34である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

(10) 第2項が54、第5項が16である等比数列$\{b_n\}$の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(9) 等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。等差数列の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$で表されます。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差です。

問題文より、$a_3 = 14$、 $a_9 = -34$であるため、以下の式が成り立ちます。

$a_3 = a_1 + 2d = 14$

$a_9 = a_1 + 8d = -34$

これらの式を連立方程式として解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$6d = -48$

$d = -8$

これを1番目の式に代入すると、

$a_1 + 2(-8) = 14$

$a_1 - 16 = 14$

$a_1 = 30$

したがって、一般項は

$a_n = 30 + (n-1)(-8) = 30 - 8n + 8 = 38 - 8n$

(10) 等比数列$\{b_n\}$の一般項を求めます。等比数列の一般項は、$b_n = b_1 r^{n-1}$で表されます。ここで、$b_1$は初項、$r$は公比です。

問題文より、$b_2 = 54$、$b_5 = 16$であるため、以下の式が成り立ちます。

$b_2 = b_1 r = 54$

$b_5 = b_1 r^4 = 16$

これらの式から、$r$を求めます。2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{b_1 r^4}{b_1 r} = \frac{16}{54}$

$r^3 = \frac{8}{27}$

$r = \frac{2}{3}$

これを1番目の式に代入すると、

$b_1 \cdot \frac{2}{3} = 54$

$b_1 = 54 \cdot \frac{3}{2} = 27 \cdot 3 = 81$

したがって、一般項は

$b_n = 81 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(9) $a_n = 38 - 8n$

(10) $b_n = 81 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$