与えられた3つの二次関数 $y=6x^2+x-12$, $y=-9x^2+24x-16$, $y=3x^2-5x+4$ について、それぞれのグラフとx軸との共有点の個数を求め、共有点を持つ場合はその座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの二次関数 $y=6x^2+x-12$, $y=-9x^2+24x-16$, $y=3x^2-5x+4$ について、それぞれのグラフとx軸との共有点の個数を求め、共有点を持つ場合はその座標を求める。

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフとx軸との共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決定される。

- D > 0 のとき、共有点は2個

- D = 0 のとき、共有点は1個

- D < 0 のとき、共有点は0個

共有点を持つ場合、そのx座標は二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解である。

(1) $y=6x^2+x-12$ について

$D = 1^2 - 4(6)(-12) = 1 + 288 = 289 > 0$

共有点は2個

$6x^2 + x - 12 = 0$ を解く:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2(6)} = \frac{-1 \pm 17}{12}$

$x_1 = \frac{-1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - 17}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

共有点の座標は $(\frac{4}{3}, 0)$ と $(-\frac{3}{2}, 0)$

(2) $y=-9x^2+24x-16$ について

$D = 24^2 - 4(-9)(-16) = 576 - 576 = 0$

共有点は1個

$-9x^2 + 24x - 16 = 0$ を解く:

$9x^2 - 24x + 16 = 0$

$(3x - 4)^2 = 0$

$3x - 4 = 0$

$x = \frac{4}{3}$

共有点の座標は $(\frac{4}{3}, 0)$

(3) $y=3x^2-5x+4$ について

$D = (-5)^2 - 4(3)(4) = 25 - 48 = -23 < 0$

共有点は0個

3. 最終的な答え

(1)

① 共有点の個数: 2個

② 共有点の個数: 1個

③ 共有点の個数: 0個

(2)

① 共有点の座標: $(\frac{4}{3}, 0), (-\frac{3}{2}, 0)$

② 共有点の座標: $(\frac{4}{3}, 0)$

③ 共有点なし