放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a = 1$ のとき、2つのグラフの共有点の座標を求めます。 (2) 2つのグラフの共有点がただ1つであるように、定数 $a$ の値を求めます。 (3) 2つのグラフが共有点を持たないように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a = 1$ のとき、2つのグラフの共有点の座標を求めます。

(2) 2つのグラフの共有点がただ1つであるように、定数 $a$ の値を求めます。

(3) 2つのグラフが共有点を持たないように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、直線の式は $y = 2x - 1$ となります。放物線と直線の共有点を求めるには、2つの式を連立させて解けば良いです。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 1 = 7$

したがって、共有点の座標は $(1, 1)$ と $(4, 7)$ です。

(2) 放物線と直線の共有点がただ1つであるということは、2つの式を連立させたときの2次方程式が重解を持つということです。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - a$

$x^2 - 5x + 3 + a = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

$D = (-5)^2 - 4(1)(3 + a) = 25 - 12 - 4a = 13 - 4a$

$13 - 4a = 0$

$4a = 13$

$a = \frac{13}{4}$

(3) 放物線と直線が共有点を持たないということは、2つの式を連立させたときの2次方程式が実数解を持たないということです。つまり、判別式 $D < 0$ となる必要があります。

$D = 13 - 4a < 0$

$4a > 13$

$a > \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標：$(1, 1), (4, 7)$

(2) $a = \frac{13}{4}$

(3) $a > \frac{13}{4}$