(1) 2次方程式 $x^2 + (a-3)x - a + 6 = 0$ が実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) $x$ の2次方程式 $x^2 + 8mx + 7m^2 + 1 = 0$ の実数解の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + (a-3)x - a + 6 = 0$ が実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) $x$ の2次方程式 $x^2 + 8mx + 7m^2 + 1 = 0$ の実数解の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が負であることである。

判別式 $D$ は

$D = (a-3)^2 - 4(1)(-a+6)$

$D = a^2 - 6a + 9 + 4a - 24$

$D = a^2 - 2a - 15$

$D < 0$ となる $a$ の範囲を求める。

$a^2 - 2a - 15 < 0$

$(a-5)(a+3) < 0$

$-3 < a < 5$

(2)

2次方程式の実数解の個数は判別式 $D$ の符号によって決まる。

$D = (8m)^2 - 4(1)(7m^2+1)$

$D = 64m^2 - 28m^2 - 4$

$D = 36m^2 - 4$

$D = 4(9m^2 - 1)$

$D = 4(3m-1)(3m+1)$

$D > 0$ のとき、実数解は2個。 $4(3m-1)(3m+1) > 0$ より、$(3m-1)(3m+1) > 0$。 $m < -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} < m$

$D = 0$ のとき、実数解は1個。 $4(3m-1)(3m+1) = 0$ より、$(3m-1)(3m+1) = 0$。 $m = \pm\frac{1}{3}$

$D < 0$ のとき、実数解は0個。 $4(3m-1)(3m+1) < 0$ より、$(3m-1)(3m+1) < 0$。 $-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-3 < a < 5$

(2)

$m < -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} < m$ のとき、実数解は2個。

$m = \pm\frac{1}{3}$ のとき、実数解は1個。

$-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{3}$ のとき、実数解は0個。