$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の値を求める。 (1) $x+y$ と $xy$ (2) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の値を求める。

(1) $x+y$ と $xy$

(2) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) まず、$x+y$ を計算する。

$x+y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$x+y = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$x+y = \frac{2\sqrt{5}}{5-3} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

次に、$xy$ を計算する。

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$xy = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{5-3} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2 + y^2$ を計算する。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 + y^2 = 5 - 1 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$, $xy = \frac{1}{2}$

(2) $x^2 + y^2 = 4$