与えられた数列 $\left(\frac{1}{3}\right)^3(-1) + \left(\frac{1}{3}\right)^7(-1) + \left(\frac{1}{3}\right)^9(-1) + \dots + \frac{1}{3^{4n-1}}(-1)$ の和を求める問題です。この数列は初項が $-\left(\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$、公比が $\left(\frac{1}{3}\right)^4$ の等比数列の和であると考えられます。そして、その和 $S_n$ が $S_n = \frac{-\frac{1}{27} \{1 - (\frac{1}{3})^{4n}\}}{1 - (\frac{1}{3})^4}$ で表されることを示唆しています。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\left(\frac{1}{3}\right)^3(-1) + \left(\frac{1}{3}\right)^7(-1) + \left(\frac{1}{3}\right)^9(-1) + \dots + \frac{1}{3^{4n-1}}(-1)$ の和を求める問題です。この数列は初項が $-\left(\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$、公比が $\left(\frac{1}{3}\right)^4$ の等比数列の和であると考えられます。そして、その和 $S_n$ が $S_n = \frac{-\frac{1}{27} \{1 - (\frac{1}{3})^{4n}\}}{1 - (\frac{1}{3})^4}$ で表されることを示唆しています。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を確認します。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の最初の $n$ 項の和 $S_n$ は、 $r \neq 1$ のとき、

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

で与えられます。

この問題では、初項 $a = -\frac{1}{27}$、公比 $r = \left(\frac{1}{3}\right)^4$ です。したがって、最初の $n$ 項の和は次のようになります。

$S_n = \frac{-\frac{1}{27} \left(1 - \left(\left(\frac{1}{3}\right)^4\right)^n\right)}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^4} = \frac{-\frac{1}{27} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{4n}\right)}{1 - \frac{1}{81}}$

分母を計算すると $1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$ なので、

$S_n = \frac{-\frac{1}{27} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{4n}\right)}{\frac{80}{81}} = -\frac{1}{27} \cdot \frac{81}{80} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{4n}\right) = -\frac{3}{80} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{4n}\right)$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{-\frac{1}{27} \{1 - (\frac{1}{3})^{4n}\}}{1 - (\frac{1}{3})^4} = -\frac{3}{80} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{4n}\right)$