与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

これを整理すると

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2 = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ なので、

$a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$