以下の4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

以下の4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$$

(2) 分母と分子に$2-\sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}-3}{4-3} = 2\sqrt{3}-3$$

(3) 分母と分子に$\sqrt{5}+\sqrt{2}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{5+2\sqrt{10}+2}{5-2} = \frac{7+2\sqrt{10}}{3}$$

(4) 分母と分子に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{3\times7 - 3\sqrt{21} - \sqrt{21} + 3}{7-3} = \frac{21 - 4\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{24 - 4\sqrt{21}}{4} = 6 - \sqrt{21}$$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $2\sqrt{3}-3$

(3) $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

(4) $6-\sqrt{21}$