$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 1$

左辺を合成すると、

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$

両辺を2で割ると、

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

ここで、$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ であるので、$\frac{\pi}{6} \le \alpha < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となります。

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、

$\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ または $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\theta = 0$ または $\theta = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}$