放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。$t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。$t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成させ、頂点の座標を $t$ の式で表します。

\begin{align*}

y &= x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16 \\

&= \left(x + (t - 5)\right)^2 - (t - 5)^2 - 4t + 16 \\

&= \left(x + (t - 5)\right)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16 \\

&= \left(x + (t - 5)\right)^2 - t^2 + 10t - 25 - 4t + 16 \\

&= \left(x + (t - 5)\right)^2 - t^2 + 6t - 9 \\

&= \left(x + (t - 5)\right)^2 - (t - 3)^2

\end{align*}

したがって、頂点Pの座標は $(-(t - 5), -(t - 3)^2)$ となります。

ここで、頂点Pの $x$ 座標を $X$、 $y$ 座標を $Y$ とおくと、

\begin{align*}

X &= -(t - 5) \\

Y &= -(t - 3)^2

\end{align*}

これらの式から $t$ を消去することを考えます。

$X = -(t - 5)$ より、 $t = 5 - X$ です。これを $Y$ の式に代入すると、

\begin{align*}

Y &= -((5 - X) - 3)^2 \\

&= -(2 - X)^2 \\

&= -(X - 2)^2

\end{align*}

よって、$Y = -(X - 2)^2$ という関係式が得られます。これは放物線を表します。

次に、$t \geq 0$ という条件から $X$ の範囲を求めます。

$t = 5 - X \geq 0$ より、$X \leq 5$ となります。

したがって、頂点Pの軌跡は、放物線 $y = -(x - 2)^2$ の $x \leq 5$ の部分です。

3. 最終的な答え

放物線 $y = -(x - 2)^2$ の $x \leq 5$ の部分