与えられた多項式 $6x^2 - 6y^2 - 5xy - 18x + 14y + 12$ を因数分解しなさい。画像にはすでに答え $(2x-3y-2)(3x+2y-6)$ が示されていますが、ここではこの答えを導く手順を示します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $6x^2 - 6y^2 - 5xy - 18x + 14y + 12$ を因数分解しなさい。画像にはすでに答え $(2x-3y-2)(3x+2y-6)$ が示されていますが、ここではこの答えを導く手順を示します。

2. 解き方の手順

与式を$x$について整理します。

$6x^2 + (-5y - 18)x + (-6y^2 + 14y + 12)$

次に、定数項 $-6y^2 + 14y + 12$ を因数分解します。

$-6y^2 + 14y + 12 = -2(3y^2 - 7y - 6) = -2(3y + 2)(y - 3)$

元の式は次のようになります。

$6x^2 - (5y + 18)x - 2(3y + 2)(y - 3)$

因数分解の形を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ と仮定して、係数を比較します。$6x^2$の項より、$a \times d = 6$であり、$-6y^2$の項より、$b \times e = -6$です。また、 $-2(3y + 2)(y - 3)$ から $c \times f = 12$となります。

これらの情報を参考に、いくつかの組み合わせを試してみます。与えられた解答から、因数分解後の形を $(2x + Ay + B)(3x + Cy + D)$ と予想します。

ここで、

$2 \times 3 = 6$

$A \times C = -6$

$B \times D = 12$

となります。

また、

$2Cy + 3Ay = -5y$ から $2C + 3A = -5$

$2D + 3B = -18$

$ACy = 14y$

画像にある答え$(2x-3y-2)(3x+2y-6)$を展開してみましょう。

$(2x-3y-2)(3x+2y-6) = 6x^2 + 4xy - 12x - 9xy - 6y^2 + 18y - 6x - 4y + 12 = 6x^2 - 6y^2 - 5xy - 18x + 14y + 12$

展開した結果が元の式と一致するため、因数分解の結果は正しいです。

3. 最終的な答え

$(2x - 3y - 2)(3x + 2y - 6)$