次の2つの4次方程式を解く問題です。 (1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$ (2) $x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの4次方程式を解く問題です。

(1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$

(2) $x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$

この方程式を解くために、因数定理を利用します。

$x=2$ を代入すると、 $16 - 8 - 4 - 2 - 2 = 0$ となるので、$x-2$ を因数に持ちます。

また、$x=-1$ を代入すると、$1 - (-1) - 1 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 1 + 1 - 2 = 0$ となるので、$x+1$ を因数に持ちます。

したがって、$(x-2)(x+1)$ で割り切れることがわかります。

$(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$ なので、$x^4 - x^3 - x^2 - x - 2$ を $x^2 - x - 2$ で割ると、

$x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 1)$

よって、$(x^2 - x - 2)(x^2 + 1) = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$ より $(x-2)(x+1) = 0$ なので、$x=2, -1$

$x^2 + 1 = 0$ より $x^2 = -1$ なので、$x = \pm i$

(2) $x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = 0$

この方程式を解くために、因数定理を利用します。

$x=1$ を代入すると、$1 - 6 + 8 - 3 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持ちます。

$x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = (x-1)(x^3 + x^2 - 5x + 3)$

さらに、$x=1$ を $x^3 + x^2 - 5x + 3$ に代入すると、$1 + 1 - 5 + 3 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持ちます。

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)(x^2 + 2x - 3)$

よって、$x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = (x-1)(x-1)(x^2 + 2x - 3)$

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ なので、$x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = (x-1)^3(x+3) = 0$

したがって、$x=1, -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1, i, -i$

(2) $x = 1, -3$