定数 $a$ が与えられたとき、放物線 $y = x^2 + a$ と関数 $y = 4|x-1| - 3$ のグラフの共有点の個数を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、放物線 $y = x^2 + a$ と関数 $y = 4|x-1| - 3$ のグラフの共有点の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = 4|x-1| - 3$ の絶対値を外す。

$x \geq 1$ のとき、 $|x-1| = x-1$ なので、 $y = 4(x-1) - 3 = 4x - 4 - 3 = 4x - 7$

$x < 1$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = 1 - x$ なので、 $y = 4(1-x) - 3 = 4 - 4x - 3 = -4x + 1$

共有点の個数は、連立方程式

$y = x^2 + a$

$y = 4|x-1| - 3$

の実数解の個数に等しい。

場合分けして考える。

(i) $x \geq 1$ のとき

$x^2 + a = 4x - 7$

$x^2 - 4x + (7+a) = 0$

判別式 $D_1 = (-4)^2 - 4(7+a) = 16 - 28 - 4a = -12 - 4a$

$D_1 > 0$ のとき、$-12 - 4a > 0$ より $a < -3$ であり、２つの実数解を持つ。

$D_1 = 0$ のとき、$-12 - 4a = 0$ より $a = -3$ であり、１つの実数解を持つ。

$D_1 < 0$ のとき、$-12 - 4a < 0$ より $a > -3$ であり、実数解を持たない。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-12-4a}}{2} = 2 \pm \sqrt{-3-a}$

$x \geq 1$ なので、$x = 2 \pm \sqrt{-3-a} \geq 1$ を満たす解を持つ必要がある。

$a < -3$ のとき、$2 - \sqrt{-3-a} \geq 1$ つまり $1 \geq \sqrt{-3-a}$ より $1 \geq -3 - a$ よって $a \geq -4$

$a = -3$ のとき、$x = 2 \geq 1$ なので、１つの解を持つ。

$x = 2 \pm \sqrt{-3-a}$ が $x \geq 1$ を満たすかどうかを調べる。

$a < -4$ のとき、 $2 - \sqrt{-3-a} < 1$ となるため、$x \geq 1$ を満たす解は一つのみである。

(ii) $x < 1$ のとき

$x^2 + a = -4x + 1$

$x^2 + 4x + (a - 1) = 0$

判別式 $D_2 = 4^2 - 4(a-1) = 16 - 4a + 4 = 20 - 4a$

$D_2 > 0$ のとき、$20 - 4a > 0$ より $a < 5$ であり、２つの実数解を持つ。

$D_2 = 0$ のとき、$20 - 4a = 0$ より $a = 5$ であり、１つの実数解を持つ。

$D_2 < 0$ のとき、$20 - 4a < 0$ より $a > 5$ であり、実数解を持たない。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{20-4a}}{2} = -2 \pm \sqrt{5-a}$

$x < 1$ なので、$x = -2 \pm \sqrt{5-a} < 1$ を満たす解を持つ必要がある。

$a < 5$ のとき、 $-2 + \sqrt{5-a} < 1$ つまり $\sqrt{5-a} < 3$ より $5-a < 9$ よって $a > -4$

$a = 5$ のとき、$x = -2 < 1$ なので、１つの解を持つ。

$x = -2 \pm \sqrt{5-a}$ が $x < 1$ を満たすかどうかを調べる。

$a > 5$ のとき、実数解はない。

まとめ

$a < -4$ のとき、(i) より１個、(ii) より２個なので、合計３個

$a = -4$ のとき、(i) より１個、(ii) より１個なので、合計２個

$-4 < a < -3$ のとき、(i) より１個、(ii) より２個なので、合計３個

$a = -3$ のとき、(i) より１個、(ii) より２個なので、合計３個

$-3 < a < 5$ のとき、(i) より０個、(ii) より２個なので、合計２個

$a = 5$ のとき、(i) より０個、(ii) より１個なので、合計１個

$a > 5$ のとき、(i) より０個、(ii) より０個なので、合計０個

3. 最終的な答え

$a < -4$ のとき、3個

$a = -4$ のとき、2個

$-4 < a < -3$ のとき、3個

$a = -3$ のとき、3個

$-3 < a < 5$ のとき、2個

$a = 5$ のとき、1個

$a > 5$ のとき、0個