2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求める。 (1) 異なる2つの正の解をもつ (2) 異なる2つの負の解をもつ (3) 正の解と負の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求める。

(1) 異なる2つの正の解をもつ

(2) 異なる2つの負の解をもつ

(3) 正の解と負の解をもつ

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 2(m-3)x + 4m$ とおく。

(1) 異なる2つの正の解をもつ条件

* 判別式 $D > 0$

* 軸 $x = - \frac{2(m-3)}{2} = -m+3 > 0$

* $f(0) > 0$

判別式について:

$D/4 = (m-3)^2 - 4m = m^2 - 6m + 9 - 4m = m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$ より、$m < 1$ または $m > 9$。

軸について:

$-m+3 > 0$ より、$m < 3$。

$f(0)$について:

$f(0) = 4m > 0$ より、$m > 0$。

これらの条件を全て満たす範囲は、$0 < m < 1$。

(2) 異なる2つの負の解をもつ条件

* 判別式 $D > 0$

* 軸 $-m+3 < 0$

* $f(0) > 0$

判別式について:

$(m-1)(m-9) > 0$ より、$m < 1$ または $m > 9$。

軸について:

$-m+3 < 0$ より、$m > 3$。

$f(0)$について:

$4m > 0$ より、$m > 0$。

これらの条件を全て満たす範囲は、$m > 9$。

(3) 正の解と負の解をもつ条件

* $f(0) < 0$

$f(0) = 4m < 0$ より、$m < 0$。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解をもつとき: $0 < m < 1$

(2) 異なる2つの負の解をもつとき: $m > 9$

(3) 正の解と負の解をもつとき: $m < 0$