(1) $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数を求める。 (2) $(3x-2)^6$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数を求める。

(2) $(3x-2)^6$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考える。

(1) $(2x+1)^5$ の場合：

二項定理より、一般項は

$$$$

{}_5 C_r (2x)^r (1)^{5-r} = {}_5 C_r 2^r x^r

$$$$

$x^2$ の項は $r=2$ のときなので、

${}_5 C_2 2^2 x^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 4 x^2 = 10 \cdot 4 x^2 = 40 x^2$

よって、$x^2$ の係数は40。

$x^3$ の項は $r=3$ のときなので、

${}_5 C_3 2^3 x^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 x^3 = 10 \cdot 8 x^3 = 80 x^3$

よって、$x^3$ の係数は80。

(2) $(3x-2)^6$ の場合：

二項定理より、一般項は

$$$$

{}_6 C_r (3x)^r (-2)^{6-r} = {}_6 C_r 3^r (-2)^{6-r} x^r

$$$$

$x^2$ の項は $r=2$ のときなので、

${}_6 C_2 3^2 (-2)^{6-2} x^2 = {}_6 C_2 3^2 (-2)^4 x^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot 16 x^2 = 15 \cdot 9 \cdot 16 x^2 = 2160 x^2$

よって、$x^2$ の係数は2160。

$x^3$ の項は $r=3$ のときなので、

${}_6 C_3 3^3 (-2)^{6-3} x^3 = {}_6 C_3 3^3 (-2)^3 x^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 \cdot (-8) x^3 = 20 \cdot 27 \cdot (-8) x^3 = -4320 x^3$

よって、$x^3$ の係数は-4320。

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)^5$ において、

$x^2$ の係数は 40

$x^3$ の係数は 80

(2) $(3x-2)^6$ において、

$x^2$ の係数は 2160

$x^3$ の係数は -4320