与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求める問題です。連立不等式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 3x + 1 < 3 - 2x \\ 1 - x < 4x \\ (2 - \sqrt{5})x < 1 \\ (\sqrt{5} - 1)x < 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求める問題です。連立不等式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

3x + 1 < 3 - 2x \\

1 - x < 4x \\

(2 - \sqrt{5})x < 1 \\

(\sqrt{5} - 1)x < 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、各不等式を個別に解きます。

(1) $3x + 1 < 3 - 2x$

$3x + 2x < 3 - 1$

$5x < 2$

$x < \frac{2}{5}$

(2) $1 - x < 4x$

$1 < 4x + x$

$1 < 5x$

$\frac{1}{5} < x$

$x > \frac{1}{5}$

(3) $(2 - \sqrt{5})x < 1$

$2 - \sqrt{5} < 0$ なので、両辺を $(2 - \sqrt{5})$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x > \frac{1}{2 - \sqrt{5}}$

分母を有理化します。

$x > \frac{1}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

$x > \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5}$

$x > \frac{2 + \sqrt{5}}{-1}$

$x > -2 - \sqrt{5}$

(4) $(\sqrt{5} - 1)x < 0$

$\sqrt{5} - 1 > 0$ なので、両辺を $(\sqrt{5} - 1)$ で割っても不等号の向きは変わりません。

$x < \frac{0}{\sqrt{5} - 1}$

$x < 0$

次に、これらの不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

(1) $x < \frac{2}{5}$

(2) $x > \frac{1}{5}$

(3) $x > -2 - \sqrt{5}$

(4) $x < 0$

数直線を考えると、

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ かつ $x > -2 - \sqrt{5}$ かつ $x < 0$

$x > \frac{1}{5}$ かつ $x < 0$を満たす $x$ は存在しないため、連立不等式の解は存在しません。

3. 最終的な答え

解なし