$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (xa + yb + zc)^2$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (xa + yb + zc)^2$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ とおきます。

すると、$x = ak, y = bk, z = ck$ となります。

左辺 $(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2)$ に $x = ak, y = bk, z = ck$ を代入すると、

\begin{align*} (x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) &= ((ak)^2 + (bk)^2 + (ck)^2)(a^2 + b^2 + c^2) \\ &= (a^2k^2 + b^2k^2 + c^2k^2)(a^2 + b^2 + c^2) \\ &= k^2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2) \\ &= k^2(a^2 + b^2 + c^2)^2 \end{align*}

右辺 $(xa + yb + zc)^2$ に $x = ak, y = bk, z = ck$ を代入すると、

\begin{align*} (xa + yb + zc)^2 &= ((ak)a + (bk)b + (ck)c)^2 \\ &= (a^2k + b^2k + c^2k)^2 \\ &= (k(a^2 + b^2 + c^2))^2 \\ &= k^2(a^2 + b^2 + c^2)^2 \end{align*}

したがって、左辺と右辺は等しくなります。

$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = k^2(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (xa + yb + zc)^2$

3. 最終的な答え

$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (xa + yb + zc)^2$