与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^2 - 6xy - 20y^2$ (2) $ab^2 - bc^2 + b^2c - c^2a$ (3) $x^2 - 2xy + 4x + y^2 - 4y + 3$ (4) $(2x+3y+1)^2 - (x+y+1)^2$ (5) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ (6) $x^4 + x^2y^2 + y^4$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^2 - 6xy - 20y^2$

(2) $ab^2 - bc^2 + b^2c - c^2a$

(3) $x^2 - 2xy + 4x + y^2 - 4y + 3$

(4) $(2x+3y+1)^2 - (x+y+1)^2$

(5) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

(6) $x^4 + x^2y^2 + y^4$

2. 解き方の手順

(1)

まず、共通因数2で括ります。

$2(x^2 - 3xy - 10y^2)$

次に、括弧の中身を因数分解します。

$2(x-5y)(x+2y)$

(2)

与えられた式を整理します。

$ab^2 - bc^2 + b^2c - c^2a = ab^2 + b^2c - bc^2 - c^2a = b^2(a+c) - c^2(a+b)$

$b$について整理するのが最も簡単そうなので、$b$について整理します。

$ab^2 + cb^2 - ac^2 - bc^2$

$b^2(a+c)-c^2(a+c)$

$(a+c)(b^2-c^2)$

$(a+c)(b-c)(b+c)$

(3)

$x^2 - 2xy + 4x + y^2 - 4y + 3 = (x^2 - 2xy + y^2) + 4(x-y) + 3 = (x-y)^2 + 4(x-y) + 3$

$A = x-y$とおくと、$A^2 + 4A + 3 = (A+1)(A+3)$

よって、$(x-y+1)(x-y+3)$

(4)

$A = 2x+3y+1$, $B = x+y+1$とおくと、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$

$(2x+3y+1 + x+y+1)(2x+3y+1 - (x+y+1))$

$(3x+4y+2)(x+2y)$

(5)

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$a$について整理します。

$a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + bc(b-c)$

$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

$a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$(b-c)(a-b)(a-c)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

(6)

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)$

$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $2(x-5y)(x+2y)$

(2) $(a+c)(b-c)(b+c)$

(3) $(x-y+1)(x-y+3)$

(4) $(3x+4y+2)(x+2y)$

(5) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(6) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$