$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$ とします。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$r\sin(\theta + \alpha)$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = r\cos\alpha\sin\theta + r\sin\alpha\cos\theta$

与えられた式と比較して、

$r\cos\alpha = 1$

$r\sin\alpha = \sqrt{3}$

これらの式をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$(r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 3$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$

$r\cos\alpha = 1$ に $r = 2$ を代入すると $\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$r\sin\alpha = \sqrt{3}$ に $r = 2$ を代入すると $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。これは $-\pi < \alpha < \pi$ の条件を満たします。

したがって、

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$