与えられた三角関数の式を$r \sin(\theta + \alpha)$の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$とします。問題は3つあります。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ (2) $-\sin \theta + \cos \theta$ (3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を$r \sin(\theta + \alpha)$の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$とします。問題は3つあります。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$

(3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を利用します。

$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$

ただし、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$、$\sin \alpha = \frac{b}{r}$

(3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の場合:

$a = 3$, $b = -\sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

(3) $2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$