放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点Pとする。$t$ が $0$ 以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点Pとする。$t$ が $0$ 以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線を平方完成して、頂点の座標を $t$ で表します。

$y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t - 5)^2 - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - t^2 + 6t - 9$

$y = (x + t - 5)^2 - (t - 3)^2$

したがって、頂点Pの座標は $(-t + 5, -t^2 + 6t - 9)$ となります。

頂点Pの $x$ 座標を $X$, $y$ 座標を $Y$ とすると、

$X = -t + 5$

$Y = -t^2 + 6t - 9$

$t = 5 - X$

$Y = -(5 - X)^2 + 6(5 - X) - 9$

$Y = -(25 - 10X + X^2) + 30 - 6X - 9$

$Y = -25 + 10X - X^2 + 30 - 6X - 9$

$Y = -X^2 + 4X - 4$

$Y = -(X - 2)^2$

ここで、$t \geq 0$ より、$5 - X \geq 0$ なので、$X \leq 5$ となります。

3. 最終的な答え

よって、頂点Pの軌跡は、放物線 $y = -(x - 2)^2$ の $x \leq 5$ の部分である。

すなわち、放物線 $y = -(x - 2)^2$ ($x \leq 5$)