$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における最大値を、$a$ の式で表す問題です。ただし、最大値を与える $\theta$ の値は求める必要はありません。

1. 問題の内容

$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における最大値を、$a$ の式で表す問題です。ただし、最大値を与える $\theta$ の値は求める必要はありません。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2\theta$ を $\cos^2\theta$ で表します。三角関数の相互関係より、

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ となります。

これを $y$ の式に代入すると、

$y = 2a\cos\theta + 2 - (1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 2a\cos\theta + 1$

(2) $\cos\theta = t$ とおきます。$\theta$ の範囲が $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であることから、$\cos\theta$ の値域は $0 \le \cos\theta \le 1$ 、つまり $0 \le t \le 1$ となります。

$y$ を $t$ で表すと、

$y = t^2 + 2at + 1$

(3) $y$ を $t$ の2次関数とみて、平方完成します。

$y = (t + a)^2 - a^2 + 1$

これは、軸が $t = -a$ の下に凸な放物線です。

(4) 定義域 $0 \le t \le 1$ における最大値を考えます。

最大値は、軸の位置によって変わります。

(i) $-a \le 0$、つまり $a \ge 0$ のとき、最大値は $t = 1$ のときにとります。

$y = 1^2 + 2a(1) + 1 = 2a + 2$

(ii) $0 < -a \le 1$、つまり $-1 \le a < 0$ のとき、最大値は $t = 0$ のときにとります。

$y = 0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

(iii) $-a > 1$、つまり $a < -1$ のとき、最大値は $t = 0$ のときにとります。

$y = 0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

3. 最終的な答え

$a \ge 0$ のとき、最大値は $2a + 2$

$a < 0$ のとき、最大値は $1$