$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を、$a$ の式で表す問題です。ただし、最大値を与える $\theta$ の値は求める必要はありません。

1. 問題の内容

$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を、$a$ の式で表す問題です。ただし、最大値を与える $\theta$ の値は求める必要はありません。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $\cos^2\theta$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ です。これを $y$ の式に代入します。

$y = 2a\cos\theta + 2 - (1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 2a\cos\theta + 1$

次に、$x = \cos\theta$ とおきます。$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le \cos\theta \le 1$ なので、$0 \le x \le 1$ です。

$y = x^2 + 2ax + 1$

この $y$ を $x$ の関数と見て、最大値を求めます。$y$ は $x$ の二次関数なので、平方完成して頂点を求めます。

$y = (x+a)^2 - a^2 + 1$

頂点の $x$ 座標は $-a$ です。したがって、軸の位置によって場合分けをします。

(i) $-a < 0$ つまり $a > 0$ のとき、$x=0$ から $x=1$ の範囲で $y$ は単調増加なので、$x=1$ で最大値をとります。

最大値は $1^2 + 2a(1) + 1 = 2a + 2$

(ii) $0 \le -a \le 1$ つまり $-1 \le a \le 0$ のとき、$x=-a$ で最大値をとります。

最大値は $-a^2 + 1$

(iii) $-a > 1$ つまり $a < -1$ のとき、$x=0$ から $x=1$ の範囲で $y$ は単調減少なので、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

3. 最終的な答え

$y$ の最大値は

$a > 0$ のとき、$2a + 2$

$-1 \le a \le 0$ のとき、$-a^2 + 1$

$a < -1$ のとき、$1$