関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ であるとき、$y$ の変域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ であるとき、$y$ の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフの概形を考えます。これは原点を頂点とする下に凸の放物線です。

$x$ の変域 $-2 \le x \le 4$ において、$y$ の最小値を求めます。$x=0$ のとき $y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$ となり、これが最小値です。

$x$ の変域 $-2 \le x \le 4$ において、$y$ の最大値を求めます。

$x = -2$ のとき $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$

$x = 4$ のとき $y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$

したがって、最大値は $8$ です。

よって、$y$ の変域は $0 \le y \le 8$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le 8$