実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \leq 3$ を満たすとき、$X = x + y$, $Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \leq 3$ を満たすとき、$X = x + y$, $Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ は $t$ に関する二次方程式 $t^2 - Xt + Y = 0$ の実数解であることに注目します。

この二次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要があります。

$D = X^2 - 4Y \geq 0$ より、

$Y \leq \frac{1}{4}X^2$ が得られます。

次に、$x^2 + xy + y^2 \leq 3$ を $X$ と $Y$ で表します。

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = X^2 - Y$ であるから、

$X^2 - Y \leq 3$

$Y \geq X^2 - 3$ が得られます。

したがって、$X$ と $Y$ の満たすべき条件は、

$X^2 - 3 \leq Y \leq \frac{1}{4}X^2$ となります。

この不等式を満たす領域を $XY$ 平面上に図示します。

$Y = X^2 - 3$ は下に凸な放物線であり、$Y = \frac{1}{4}X^2$ も下に凸な放物線です。

交点を求めます。

$X^2 - 3 = \frac{1}{4}X^2$

$\frac{3}{4}X^2 = 3$

$X^2 = 4$

$X = \pm 2$

$X = \pm 2$ のとき、$Y = 1$。

よって、交点は $(2, 1)$ と $(-2, 1)$ です。

求める範囲は、放物線 $Y = X^2 - 3$ の上側かつ放物線 $Y = \frac{1}{4}X^2$ の下側で、$X$ の範囲は $-2 \leq X \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

領域は、2つの放物線 $Y = X^2 - 3$ と $Y = \frac{1}{4}X^2$ で囲まれた領域であり、$X$ の範囲は $-2 \leq X \leq 2$ で、境界線を含みます。