与えられた数列 -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ... の一般項を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ... の一般項を求める。

2. 解き方の手順

与えられた数列を $\{a_n\}$ とする。階差数列を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_1 = 2 - (-3) = 5$

$b_2 = 19 - 2 = 17$

$b_3 = 52 - 19 = 33$

$b_4 = 105 - 52 = 53$

$b_5 = 182 - 105 = 77$

$b_6 = 287 - 182 = 105$

階差数列は 5, 17, 33, 53, 77, 105, ... となる。

さらに階差数列を求める。

$c_n = b_{n+1} - b_n$

$c_1 = 17 - 5 = 12$

$c_2 = 33 - 17 = 16$

$c_3 = 53 - 33 = 20$

$c_4 = 77 - 53 = 24$

$c_5 = 105 - 77 = 28$

第2階差数列は 12, 16, 20, 24, 28, ... となり、これは初項12、公差4の等差数列である。

したがって、$c_n = 12 + (n-1)4 = 12 + 4n - 4 = 4n + 8$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 8) = 5 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k + 8\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$b_n = 5 + 4\frac{(n-1)n}{2} + 8(n-1) = 5 + 2n^2 - 2n + 8n - 8 = 2n^2 + 6n - 3$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + 6k - 3) = -3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 6\sum_{k=1}^{n-1} k - 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = -3 + 2\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 6\frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = -3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{3} + 3(n-1)n - 3(n-1)$

$a_n = -3 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{3} + 3n^2 - 3n - 3n + 3 = \frac{-9 + 2n^3 - 3n^2 + n + 9n^2 - 18n + 9}{3}$

$a_n = \frac{2n^3 + 6n^2 - 17n}{3}$

$a_1 = \frac{2+6-17}{3} = \frac{-9}{3} = -3$

$a_2 = \frac{16 + 24 - 34}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$a_3 = \frac{54 + 54 - 51}{3} = \frac{57}{3} = 19$

$a_4 = \frac{128 + 96 - 68}{3} = \frac{156}{3} = 52$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 + 6n^2 - 17n}{3}$