与えられた画像にある演習問題１の設問５を解く問題です。 具体的には、複素数の積と商を計算し、$a+bi$ の形で表します。 (1) $3(\cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16}) \times \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{16} + i\sin\frac{3\pi}{16})$ (2) $8(\cos\frac{14\pi}{15} + i\sin\frac{14\pi}{15}) \div 2(\cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10})$

1. 問題の内容

与えられた画像にある演習問題１の設問５を解く問題です。

具体的には、複素数の積と商を計算し、$a+bi$ の形で表します。

(1) $3(\cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16}) \times \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{16} + i\sin\frac{3\pi}{16})$

(2) $8(\cos\frac{14\pi}{15} + i\sin\frac{14\pi}{15}) \div 2(\cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10})$

2. 解き方の手順

(1) 複素数の積を計算します。

複素数の極形式の積は、絶対値の積と偏角の和で求められます。

$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき、

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2))$

したがって、

$3(\cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16}) \times \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{16} + i\sin\frac{3\pi}{16}) = 3\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}) + i\sin(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}))$

$= 3\sqrt{2}(\cos\frac{4\pi}{16} + i\sin\frac{4\pi}{16}) = 3\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

$= 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3(1+i) = 3+3i$

(2) 複素数の商を計算します。

複素数の極形式の商は、絶対値の商と偏角の差で求められます。

$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき、

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))$

したがって、

$8(\cos\frac{14\pi}{15} + i\sin\frac{14\pi}{15}) \div 2(\cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10}) = 4(\cos(\frac{14\pi}{15} - \frac{\pi}{10}) + i\sin(\frac{14\pi}{15} - \frac{\pi}{10}))$

$= 4(\cos(\frac{28\pi - 3\pi}{30}) + i\sin(\frac{28\pi - 3\pi}{30})) = 4(\cos\frac{25\pi}{30} + i\sin\frac{25\pi}{30}) = 4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

$= 4(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -2\sqrt{3} + 2i$

3. 最終的な答え

(1) $3+3i$

(2) $-2\sqrt{3} + 2i$