(1) 第3項が6、第11項が46である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求める。 (2) 初項から第n項までの和を$S_n$とする等比数列$\{b_n\}$において、$S_3 = 9$、$S_6 = -63$のとき、$b_5$を求める。ただし、$\{b_n\}$の公比は実数とする。 (3) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-1)$を計算し、$On^3 + \text{カ}n^2$の形で表す。

1. 問題の内容

(1) 第3項が6、第11項が46である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

(2) 初項から第n項までの和を$S_n$とする等比数列$\{b_n\}$において、$S_3 = 9$、$S_6 = -63$のとき、$b_5$を求める。ただし、$\{b_n\}$の公比は実数とする。

(3) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-1)$を計算し、$On^3 + \text{カ}n^2$の形で表す。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を$a_n = a + (n-1)d$とおく。

$a_3 = a + 2d = 6$

$a_{11} = a + 10d = 46$

2式を連立して解く。

$8d = 40$より、$d = 5$

$a = 6 - 2d = 6 - 10 = -4$

したがって、$a_n = -4 + (n-1)5 = 5n - 9$

(2) 等比数列の初項を$b$、公比を$r$とおく。

$S_3 = \frac{b(1-r^3)}{1-r} = 9$

$S_6 = \frac{b(1-r^6)}{1-r} = -63$

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{-63}{9} = -7$

$1+r^3 = -7$

$r^3 = -8$

$r = -2$

$S_3 = \frac{b(1-(-2)^3)}{1-(-2)} = \frac{9b}{3} = 3b = 9$

$b = 3$

$b_5 = br^4 = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48$

(3) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-1) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k)$

$= 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$= 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= n(n+1)(2n+1) - n(n+1)$

$= n(n+1)(2n+1-1) = n(n+1)(2n) = 2n^2(n+1)$

$= 2n^3 + 2n^2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 9$

(2) $b_5 = 48$

(3) $2n^3 + 2n^2$