問題は、$x^6 = 1$ を満たす $x$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$x^6 = 1$ を満たす $x$ を求めることです。

2. 解き方の手順

$x^6 = 1$ の解を求めるために、複素数の範囲で考えます。

$1$ は、複素平面上で絶対値が $1$、偏角が $0$ の複素数です。

$1 = e^{i(0 + 2\pi k)}$ と表せます。ここで、$k$ は整数です。

$x^6 = e^{i(0 + 2\pi k)}$

$x = (e^{i(0 + 2\pi k)})^{1/6}$

$x = e^{i(2\pi k)/6}$

$x = e^{i(\pi k)/3}$

ここで、$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ を代入して、異なる6つの解を求めます。

$k = 0$: $x = e^{i(0)} = 1$

$k = 1$: $x = e^{i(\pi/3)} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k = 2$: $x = e^{i(2\pi/3)} = \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k = 3$: $x = e^{i(\pi)} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$

$k = 4$: $x = e^{i(4\pi/3)} = \cos(4\pi/3) + i\sin(4\pi/3) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k = 5$: $x = e^{i(5\pi/3)} = \cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$