初項99、公差-5の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 初めて負になるのは第何項か。 (2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

1. 問題の内容

初項99、公差-5の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 初めて負になるのは第何項か。

(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初めて負になる項を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

この問題の場合、$a_1 = 99$、$d = -5$ なので、一般項は

$a_n = 99 + (n-1)(-5)$

$a_n = 99 - 5n + 5$

$a_n = 104 - 5n$

初めて負になる項を求めるには、$a_n < 0$ となる $n$ を探します。

$104 - 5n < 0$

$104 < 5n$

$n > \frac{104}{5}$

$n > 20.8$

$n$ は整数なので、初めて負になるのは第21項です。

(2) 和が最大となる項と、その時の和を求める。

等差数列の和が最大となるのは、正の項までの和です。

(1)より、$a_{20} = 104 - 5(20) = 104 - 100 = 4 > 0$ であり、$a_{21} = 104 - 5(21) = 104 - 105 = -1 < 0$ です。

したがって、初項から第20項までの和が最大になります。

等差数列の和 $S_n$ は $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ で表されます。

$S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2}$

$S_{20} = \frac{20(99 + 4)}{2}$

$S_{20} = \frac{20(103)}{2}$

$S_{20} = 10(103)$

$S_{20} = 1030$

3. 最終的な答え

(1) 初めて負になるのは第21項。

(2) 初項から第20項までの和が最大となり、その和は1030。