$x^3 - x^2 - 13x - 6 = (x+2)(x+a)(2x+b)$ が成り立つとき、整数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 - 13x - 6 = (x+2)(x+a)(2x+b)$ が成り立つとき、整数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、$x$ の各次数の係数を比較することで、$a$ と $b$ の値を求めます。

まず、右辺を展開します。

$(x+2)(x+a)(2x+b) = (x+2)(2x^2 + bx + 2ax + ab) = (x+2)(2x^2 + (b+2a)x + ab)$

$= 2x^3 + (b+2a)x^2 + abx + 4x^2 + 2(b+2a)x + 2ab$

$= 2x^3 + (b+2a+4)x^2 + (ab+2b+4a)x + 2ab$

与えられた式は $2x^3 - x^2 - 13x - 6$ なので、係数を比較すると、次のようになります。

$x^3$の係数: $2 = 2$

$x^2$の係数: $b+2a+4 = -1$

$x$の係数: $ab+2b+4a = -13$

定数項: $2ab = -6$

定数項の式から、$ab = -3$ を得ます。

$b+2a+4 = -1$ より、$b+2a = -5$

$ab+2b+4a = -13$ より、$-3+2b+4a = -13$, よって$2b+4a=-10$, $b+2a=-5$。

$ab = -3$ より、あり得る整数の組み合わせは $(a, b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ です。

$b + 2a = -5$ を満たすものを探します。

* $(a, b) = (1, -3)$: $-3 + 2(1) = -1 \neq -5$

* $(a, b) = (-1, 3)$: $3 + 2(-1) = 1 \neq -5$

* $(a, b) = (3, -1)$: $-1 + 2(3) = 5 \neq -5$

* $(a, b) = (-3, 1)$: $1 + 2(-3) = -5$

したがって、$a = -3$、$b = 1$ が解です。

3. 最終的な答え

a = -3

b = 1