行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、$AX = E$ および $XA=E$ を満たす行列 $X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{bmatrix}$ を求めよ。ここで、$E$ は単位行列である。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、$AX = E$ および $XA=E$ を満たす行列 $X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{bmatrix}$ を求めよ。ここで、$E$ は単位行列である。

2. 解き方の手順

まず、$AX=E$ となる $X$ を求める。$X = A^{-1}$ であるから、$A$ の逆行列を求めることに相当する。

行列 $A$ と単位行列を並べた行列を作り、基本変形を行って $A$ を単位行列に変形することで、$A^{-1}$ が求められる。

すなわち、

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に1行目を足すと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の3倍を引き、2行目から3行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$X = A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

次に、$XA = E$ となることを確認する。

$XA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$

3. 最終的な答え

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$