$\omega$ は1の3乗根のうち、実数でないものの1つである。このとき、次の式の値を求めよ。 (7) $\omega^2 + \omega + 1$ (8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$ (9) $(1-\omega)(1-\omega^2)$

1. 問題の内容

$\omega$ は1の3乗根のうち、実数でないものの1つである。このとき、次の式の値を求めよ。

(7) $\omega^2 + \omega + 1$

(8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$

(9) $(1-\omega)(1-\omega^2)$

2. 解き方の手順

$\omega$ は1の3乗根であるから、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。

また、$\omega$ は $x^3 = 1$ の解であるから、$x^3 - 1 = 0$ を満たす。

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0$ であり、$\omega$ は実数でないので、$\omega \neq 1$ である。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

(7) $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求める。

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ である。

(8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$ の値を求める。

$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2$

したがって、

$\omega^{10} + \omega^5 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$

(9) $(1-\omega)(1-\omega^2)$ の値を求める。

$(1-\omega)(1-\omega^2) = 1 - \omega - \omega^2 + \omega^3 = 1 - (\omega + \omega^2) + \omega^3$

$\omega + \omega^2 = -1$ であり、$\omega^3 = 1$ であるから、

$(1-\omega)(1-\omega^2) = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

(7) 0

(8) 0

(9) 3