$S_n = \omega^n + \omega^{2n}$ の値を求めよ。ただし、$n$は自然数とし、$\omega$ が何であるかは明示されていません。しかし、通常この種の文脈では、$\omega$ は1の原始3乗根、つまり $\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ であると仮定します。その場合、$\omega$ は $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たします。

1. 問題の内容

$S_n = \omega^n + \omega^{2n}$ の値を求めよ。ただし、$n$は自然数とし、$\omega$ が何であるかは明示されていません。しかし、通常この種の文脈では、$\omega$ は1の原始3乗根、つまり $\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ であると仮定します。その場合、$\omega$ は $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たします。

2. 解き方の手順

$n$ を3で割った余りによって場合分けして考えます。

* $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき: $n = 3k$ ($k$は整数) と書けるので、

$\omega^n = \omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1^k = 1$。

同様に、$\omega^{2n} = \omega^{6k} = (\omega^3)^{2k} = 1^{2k} = 1$。

したがって、$S_n = \omega^n + \omega^{2n} = 1 + 1 = 2$。

* $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき: $n = 3k+1$ ($k$は整数) と書けるので、

$\omega^n = \omega^{3k+1} = \omega^{3k} \cdot \omega = \omega$。

$\omega^{2n} = \omega^{2(3k+1)} = \omega^{6k+2} = \omega^{6k} \cdot \omega^2 = \omega^2$。

したがって、$S_n = \omega^n + \omega^{2n} = \omega + \omega^2 = -1$。

* $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき: $n = 3k+2$ ($k$は整数) と書けるので、

$\omega^n = \omega^{3k+2} = \omega^{3k} \cdot \omega^2 = \omega^2$。

$\omega^{2n} = \omega^{2(3k+2)} = \omega^{6k+4} = \omega^{6k} \cdot \omega^4 = \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$。

したがって、$S_n = \omega^n + \omega^{2n} = \omega^2 + \omega = -1$。

まとめると、

$S_n =

\begin{cases}

2 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\

-1 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\

-1 & (n \equiv 2 \pmod{3})

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$S_n = \begin{cases} 2 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ -1 & (n \not\equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$